Quand un spin change-t-il de sens ? Distributions des temps d'arrivée et propagation de l'information dans les systèmes quantiques discrets

Cet article examine la question du temps d’arrivée à un état donné dans un système quantique discret. À titre d’exemple paradigmatique, nous nous demandons combien de temps il faut à une particule de spin 12, au repos dans un champ magnétique constant et initialement préparée, disons, dans l’état de spin « up », pour être détectée dans l’état de spin « down ». De toute évidence, la question « Quand le spin s’inverse-t-il ? » doit être comprise de manière opérationnelle, non pas en termes d’évolution d’un état réel sous-jacent, mais en termes de résultats de mesure. En l’absence de mesure, le spin suit une dynamique unitaire, évoluant vers une superposition cohérente des états « up » et « down », l’équation de Schrödinger fixant de manière déterministe les instants périodiques auxquels la probabilité de transition atteint l’unité. Ces instants ne correspondent toutefois pas à des événements observables. Un temps de renversement de spin ne peut donc être défini que par le biais de statistiques de mesure, à savoir comme le moment où l’état cible est détecté pour la première fois dans le cadre d’un protocole de mesure spécifié. Le présent travail n’aborde pas les questions ontologiques concernant la nature fondamentale du temps en mécanique quantique, mais se concentre plutôt sur la définition opérationnelle et la reconstruction expérimentale des distributions des temps d’arrivée dans le cadre du formalisme standard.

Si la règle de Born fournit la densité de probabilité pour la mesure d’un état quantique à un instant fixe, le formalisme standard de la mécanique quantique n’offre malheureusement aucune prescription directe concernant la densité de probabilité d’une mesure de temps associée à un état fixe. Cette asymétrie est à l’origine du problème dit du « temps d’arrivée » (TOA), qui découle du traitement du temps comme un paramètre plutôt que comme une observable, ainsi que de l’absence d’un opérateur auto-adjoint canoniquement conjugué à l’hamiltonien [1], alors que des efforts considérables ont été consacrés à la définition de distributions de temps d’arrivée pour les systèmes continus, sans qu’un consensus ne se soit dégagé à ce jour [2,3], les mesures de temps dans les systèmes quantiques discrets n’ont fait l’objet que de peu d’attention systématique, en particulier dans une perspective opérationnelle unifiée qui oppose explicitement des protocoles de mesure distincts. La plupart des approches développées pour les mesures de position continues ne s’étendent pas facilement à ce contexte, à l’exception notable de [4,5], où une application aux systèmes de spin est explicitement mentionnée, et [6,7], s’appuyant sur des travaux antérieurs consacrés aux systèmes continus [8,9,10].

Nous estimons que les différences observées dans les distributions prédites des temps d’arrivée (TOA) pour les systèmes continus et discrets ne résultent pas simplement d’approches concurrentes d’une même notion de TOA, mais reflètent souvent des divergences ou des ambiguïtés dans la définition sous-jacente même du temps d’arrivée quantique. En dynamique classique, il existe une procédure simple pour obtenir une notion non ambiguë de temps d’arrivée : il suffit de surveiller le système en continu et d’enregistrer le premier moment où il atteint un état cible sans en modifier le mouvement. En mécanique quantique, cependant, la mesure perturbe inévitablement le système. Des mesures projectives répétées d’un état cible font s’effondrer la fonction d’onde et peuvent figer la dynamique par le biais de l’effet Zénon quantique [11,12]. À l’inverse, les mesures faibles ou continues réduisent la rétroaction mais conduisent à une évolution non unitaire du système ouvert, décrite par des équations maîtresses stochastiques ou des POVM (mesures à valeurs d’opérateurs positifs) [13,14]. Par conséquent, toute définition pertinente d’une distribution des temps d’arrivée (TOA) doit préciser explicitement le protocole de mesure selon lequel elle est définie.

Dans cet article, nous nous concentrons sur l’évolution unitaire non perturbée du système et proposons une comparaison systématique de trois notions opérationnellement distinctes de temps d’arrivée au sein d’un même cadre à spins discrets. En conséquence, nous nous concentrons sur les approches dans lesquelles les statistiques d’arrivée sont extraites de mesures ponctuelles effectuées à des instants prédéfinis, plutôt que de projections fortes répétées ou d’une surveillance faible continue qui modifient la dynamique. Dans ce contexte, nous élargissons la littérature existante sur les distributions de temps d’arrivée (TOA) dans les systèmes quantiques discrets en examinant trois notions distinctes de TOA pour un système de spins, en analysant les distributions de probabilité correspondantes et en discutant de leurs applications potentielles. Nous montrons tout d’abord que les distributions cumulatives des temps pour les systèmes discrets peuvent être déduites des probabilités de transition données par la règle de Born, lesquelles sont accessibles expérimentalement par le biais de mesures projectives effectuées à des instants discrets sur des systèmes préparés indépendamment. La dérivation de ces distributions cumulées donne lieu à une première notion de TOA, appelée distribution de TOA du flux quantique (ou distribution QF en abrégé), étroitement liée aux approches antérieures du flux et aux approches stochastiques de la TOA présentées dans [8,9,10], ainsi qu’au concept de « temps d’écoulement » introduit de manière opérationnelle dans [6,7]. Nous comparons cette notion à l’approche de l’horloge quantique (QC). Le terme « horloge quantique » est utilisé de différentes manières dans la littérature, allant des dispositifs physiques de mesure du temps employés en métrologie quantique aux constructions relationnelles dans lesquelles le temps est déduit à partir de corrélations entre sous-systèmes. Dans le présent travail, nous adoptons la perspective opérationnelle développée dans [4,5], où un degré de liberté d’horloge est introduit et où le temps est défini de manière conditionnelle à partir de mesures conjointes sur le système et l’horloge. Dans ce cadre, on se pose la question suivante : étant donné que le système est détecté dans un état d’arrivée spécifié, quelle est la distribution de probabilité de la lecture correspondante de l’horloge ? La distribution temporelle qui en résulte dépend donc de la détection réussie de l’état cible, et diffère conceptuellement des constructions basées sur le flux ou sur la première détection. Nous soulignons que notre utilisation de l’approche par horloge quantique sert de notion de référence pour le temps d’arrivée dans le cadre d’une comparaison opérationnelle unifiée, plutôt que d’être le sujet central de la présente analyse. Nous introduisons enfin une autre notion, appelée distribution du temps d’attente quantique (ou distribution QW en abrégé), définie comme la distribution du temps d’attente jusqu’à ce qu’une première détection de l’état cible se produise lors de mesures individuelles sur un ensemble de systèmes identiques. Comme chaque mesure est effectuée sur une copie indépendante du système, la distribution QW TOA qui en résulte caractérise le temps d’arrêt d’un protocole expérimental plutôt qu’une propriété fondamentale de la dynamique du système elle-même, telle que le temps de première arrivée d’un système unique soumis à des mesures fortes successives. À ce titre, la distribution QW TOA représente une observable dépendante du protocole qui rend compte de la latence d’une procédure de mesure. Nous fournissons également un protocole expérimental explicite pour la reconstruction empirique de chaque distribution via des mesures projectives en temps discret, dans l’esprit des schémas de mesure stroboscopiques discutés dans [6,7,8,9,10,15]. Nous utilisons ces résultats pour analyser les distributions des temps de propagation de l’information dans les systèmes à chaînes de spins XX via la distribution TOA d’attente quantique et étudions sa relation avec la borne de Lieb–Robinson [16]. Enfin, nous concluons en soulignant que la pertinence opérationnelle de chaque notion de temps d’arrivée dépend du contexte, et que chaque approche donne naturellement lieu à des applications distinctes dans les domaines de la détection, du calcul et de la communication quantiques.